傅里叶变换的定义_傅里叶变换的意义_如何求傅里叶变换

一、傅里叶变换的起源与定义

傅里叶变换是数学与信号分析之间深厚联系的一个杰出代表。当我们谈论某个信号时，它实际上可以被看作是多种频率的正弦波的叠加。这些正弦波的频率可能不同，但它们的组合却形成了一个独特的波形。这一理论背后的思想，是由傅里叶首次提出的。后人基于他的理论进行了扩展，满足一定条件的函数可以表示为三角函数（正弦和/或余弦函数）或它们的积分的线性组合。这些组合是通过傅里叶变换得到的。至于满足的条件，对于工程师来说，只需知道在电参量测量中遇到的周期信号都满足这一条件即可。在电参量测量分析中，我们可以用更简单的话语来描述傅里叶变换：任意周期信号可以被分解为直流分量以及一组不同幅值、频率和相位的正弦波的组合，而得到这些组合的方法就是傅里叶变换。这些正弦波的频率遵循一个规律，那就是它们是某个频率的整数倍。这个频率被称为基波频率，而其他频率则被称为谐波频率。例如，如果某个谐波的频率是基波频率的N倍，那么它就被称为N次谐波。直流分量的频率为零，也可以视为零次谐波。

二、傅里叶变换的意义与价值

那么，为什么要进行傅里叶变换呢？简单地说，傅里叶变换是对信号的一种描述方法。其目的是为了揭示信号的特征，而描述方法越简单越好。所谓的信号特征，是指可以定量描述波形某些特性的数值。为了全面描述一个波形，可能需要多个特征值。例如正弦波可以用幅值和频率两个特征值来描述。除了常见的规则信号外，很多时候我们看到的波形是复杂且难以理解的。傅里叶变换的作用就凸显出来了。它可以将看似复杂的波形转化为更容易理解和分析的正弦波的组合。具体来说，通过傅里叶变换，一个看似复杂的波形可以被分解为多个不同频率的正弦波的叠加，而这些正弦波的频率、幅值和相位等信息都可以被准确地量化。这样，我们就可以通过观测和分析这些正弦波的参数来深入了解原始信号的特征。傅里叶变换还具有将信号转换为频谱形式的能力，包括幅值谱、相位谱和功率谱等，从而实现对信号的准确、定量描述。这也是傅里叶变换的主要目的所在。值得注意的是，傅里叶变换选择正弦波作为基函数进行信号分解是因为正弦波具有一些独特的性质，例如在线性系统中的输入响应特性等。这些性质使得正弦波成为信号分析的理想选择。关于如何求傅里叶变换的问题，实际上有成熟的函数可供调用。主要是讲述如何理解傅里叶变换的思想和其在信号分析中的应用。

三、傅立叶变换的选择与应用

当我们理解了傅立叶变换的意义和价值后，可能会产生一些疑问：为什么傅立叶变换选择将信号分解为正弦波的组合而不是其他波形呢？这是因为正弦波具有一些独特的性质和行为特点使得它在信号分析中表现出强大的适用性。首先正弦波输入至任何线性系统其输出仍然是正弦波改变的仅仅是幅值和相位而已。这一特性使得正弦波成为研究线性系统输入输出关系的理想工具。通过对单位幅值的不同频率的正弦波输入至线性系统记录其输出正弦波的幅值和频率的关系以及相位和频率的关系我们可以得到该系统的幅频特性和相频特性从而对系统的行为进行全面描述。此外傅立叶变换的选择也为我们提供了一种强大的工具来研究信号的构成和特点通过频谱分析我们可以深入了解信号的频率成分幅值相位等信息从而对信号进行更准确的描述和分析。因此傅立叶变换作为一种信号分析方法其目的就是将复杂信号分解为更简单的组件（正弦波）以便我们更深入地研究和理解信号的特性和行为。理解傅里叶变换的核心思想，并不需要记住复杂的公式或调用函数，即使你不会编程，只要掌握了三角函数的基础知识，也能深入理解傅里叶变换的过程。

傅里叶的伟大之处在于他提出的论断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。这一论断为我们提供了一种全新的视角，来看待信号的分解与合成。

正弦函数有一个重要的特性，叫做正交性。这一特性在傅里叶变换中起到了至关重要的作用。任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。我们可以利用这一特性设计一个检波器，通过它，我们可以探测到信号中的特定频率成分。

这个检波器由一个乘法器和一个积分器构成。乘法器的一个输入为已知频率f的单位幅值正弦波（标准正弦信号f），另一个输入为待变换的信号。检波器的输出只与待变换信号中频率为f的正弦分量的幅值和相位有关。

待变换的信号可能包含也可能不包含频率为f的分量，可能复杂也可能简单。将信号输入检波器，通过积分运算，我们可以得到信号中特定频率成分的幅值和相位信息。

为了获取更全面的信号信息，我们可以设计多个检波器，使用不同频率的标准信号（如正弦、余弦信号等）。通过这种方式，我们可以获取到信号的各种频率成分，如基波、谐波等。不仅如此，通过比较不同检波器的输出，我们还可以得到信号中各个频率成分的相位信息。

傅里叶变换的实质就是通过正弦和余弦信号的特性，将复杂的信号分解为一系列简单的正弦和余弦信号的组合。这一过程并不需要复杂的公式和函数，只需要理解正弦函数的基本特性和正交性原理，就能实现傅里叶变换。

傅里叶变换是一种强大的工具，它让我们能够深入了解信号的内在结构和特性。掌握傅里叶变换的思想，不仅可以帮助我们更好地理解信号处理的基本原理，还可以为我们提供一种新的思维方式，来看待和分析各种信号问题。